Mathematik (d.h. Parameterdarstellung)

Im folgenden erläutere ich die Parameterdarstellung, weil ich die Kurven mit dieser bezeichne.Für die Erklärung brauche ich einen Kreis mit dem Mittelpunkt M(0/0), einem Radius r und einen beliebigen Punkt auf diesem Kreis P(x/y). Den Winkel zwischen der X-Achse und der Strecke von M(0/0) zu P(x/y) nenne ich α. Siehe Abbildung 1.

Nun drücke ich die kartesischen Koordinaten (x,y) von Punkt P mit Polarkoordinaten (r,α) aus. Da cos(α) = x/r und sin(α) = y/r ist (laut Definition), muss ich die Gleichungen nur noch nach x und y auflösen:
x = cos(α) * r und y = sin(α) * r => P(cos(α) * r / sin(α) * r)

Ist nun der Mittelpunkt nicht im Zentrum des Koordinatensystems, sondern bei M(u/v), so muss man diesen Punkt noch addieren: x = u + cos(α) * r und y = v + sin(α) * r

Die allgemeine Parameterdarstellung eines Kreises mit Mittelpunkt M(u/v) und Radius r ist also:
x = u + cos(α) * r
y = v + sin(α) * r
 

Um die Parameterdarstellung zu veranschaulichen, nehme ich einen Kreis mit Mittelpunkt M(0/0) und Radius r = 1. Setze ich diese Zahlen in die allgemeine Parameterdarstellung ein, so sieht dies folgendermasse aus:

x = 0+ cos(α) * 1
y = 0+ sin(α) * 1

D.h. vereinfacht:
x = cos(α)
y = sin(α)

Ist nun α = 90° (vergleiche Abb. 2) =>
x = cos(90°) => x = 0
y = sin(90°) => y = 1
Man bekommt den Punkt P(0/1).

Ist α = 180° (vergleiche Abb. 3) =>
x = cos(180°) => x = -1
y = sin(180°) => y = 0
Man bekommt den Punkt P(-1/0).

D.h., egal was für α eingesetzt wird, die Punkte liegen alle auf dem Kreis.

Was passiert nun, wenn man die Parameterdarstellung des Kreises abändert? Vier Beispiele (Abb. 4):

x = cos(α)
y = sin(α)

x = cos(α)
y = 2 * sin(α)

x = 2 * cos(α)
y = sin(α)

x = 2 * cos(α)
y = 2 * sin(α)
 

Bei dieser Arbeit ging es nun darum, durch Veränderung von x und y interssante, spezielle und schöne Kurven zu bekommen. Wie z.B. die Folgende (Abb. 5):

x = cos(sin(5α)-sin(7α)*cos(3α))
y = sin(3α)+cos(7α)*tan(2α)-sin(sin(7α)*cos(2α))

Wie schon erwähnt, entdeckte ich auch bestimmte Sachverhalte. Z.B. wie man durch die Veränderung der Variabeln a und b in der nachfolgenden Parameterdarstellung die Anzahl Blätter der Blume (Abb. 6) ändert:
x = cos[aα]-sin[bα]
y = sin[aα]-cos[bα]

a und b müssen beide grösser gleich 1 sein, damit es eine Blume gibt. Die Anzahl der Blätter dieser Blume ist a+b. Es ist allerdings zu beachten, dass man a und b kürzt. D.h. es spielt keine Rolle, ob man a, b oder 2a, 2b einsetzt.

x = cos[2α]-sin[α]
y = sin[2α]-cos[α]

x = cos[10α]-sin[7α]
y = sin[10α]-cos[7α]

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